HERMITE (C.)


HERMITE (C.)
HERMITE (C.)

Les travaux du mathématicien français Charles Hermite portent surtout sur l’algèbre, la théorie des nombres et l’analyse. On lui doit de très nombreux résultats sur la théorie des invariants et sur les fonctions elliptiques et abéliennes, et il est le fondateur de la théorie arithmétique des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables.

Algèbre et analyse

Charles Hermite, né à Dieuze, publia ses premiers travaux alors qu’il était encore élève à l’École polytechnique, et à trente ans il était déjà considéré comme un des meilleurs mathématiciens de son temps. Il fut successivement professeur à l’École polytechnique, au Collège de France et enfin à la Sorbonne à partir de 1869; son enseignement et sa volumineuse correspondance eurent une influence considérable. Il vécut à Paris jusqu’à sa mort. Il avait été élu membre de l’Académie des sciences à trente-quatre ans.

En algèbre, Hermite prit une part active aux premiers développements de la théorie des invariants, inaugurée par Arthur Cayley et James Joseph Sylvester; il acheva, entre autres, la détermination des invariants des formes binaires du cinquième degré, commencée par Sylvester, et découvrit la «loi de réciprocité» entre covariants de formes binaires de degrés différents. On lui doit aussi un procédé d’interpolation améliorant la méthode de Lagrange en tenant compte des valeurs des dérivées premières, et la découverte de la famille de polynômes orthogonaux qui portent son nom.

Les travaux d’analyse d’Hermite portent la marque de son tempérament d’algébriste. Son sujet de prédilection pendant toute sa vie a été la théorie des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes, dont il aimait particulièrement explorer les liens cachés avec l’algèbre et la théorie des nombres. Un de ses résultats qui frappa le plus ses contemporains est la résolution de l’équation du cinquième degré à l’aide des fonctions elliptiques. Sa virtuosité dans les calculs des fonctions lui permit d’obtenir directement les remarquables formules sur les nombres de classes d’idéaux des corps quadratiques, que Kronecker avait déduites de la multiplication complexe. Il fut un des pionniers dans l’étude des fonctions abéliennes, où il développa la théorie de la transformation et rencontra à cette occasion pour la première fois le groupe symplectique. Enfin, le plus célèbre des mémoires d’Hermite est celui où, en 1872, il démontra la transcendance du nombre e ; il y avait été conduit par ses recherches sur les fractions continuées algébriques, et sa méthode est restée presque la seule dont on dispose encore aujourd’hui pour aborder les problèmes de transcendance.

La théorie arithmétique des formes quadratiques

Hermite commence à étendre aux formes positives non dégénérées à un nombre quelconque n de variables («formes définies positives» dans la terminologie classique) l’idée de «réduction» que Gauss avait introduite pour les formes à deux et à trois variables. Par un raisonnement de récurrence élémentaire, il arrive à montrer qu’une telle forme, de discriminant D, prend, pour au moins un système de valeurs entières (non toutes nulles) des variables, une valeur au plus égale à:

où 福n est une constante ne dépendant que de n , et pour laquelle Hermite obtient la majoration:

améliorée plus tard par H. Minkowski. Cela lui permet déjà, pour des formes quadratiques positives à coefficients entiers , de montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de classes de formes équivalentes de discriminant donné (deux formes étant équivalentes si elles se déduisent l’une de l’autre par une transformation linéaire inversible à coefficients entiers ). Mais la grande originalité d’Hermite est d’avoir utilisé sa majoration () (et la majoration analogue pour ce qu’on appelle maintenant les «formes hermitiennes» positives non dégénérées, qu’il introduisit le premier dans la science) pour obtenir toute une série de résultats arithmétiques nouveaux. Par exemple, en associant à un nombre réel quelconque A la forme quadratique positive:

où est un nombre positif quelconque, l’application de () donne le résultat qu’il existe toujours deux entiers m , n pour lesquels:

résultat plus précis que celui qu’on déduit de la théorie des fractions continuées (cf. approximations DIOPHANTIENNES). La même méthode s’applique à l’approximation simultanée de n nombres réels A1, ..., An par des nombres rationnels en considérant la forme quadratique à n + 1 variables:

La théorie des formes quadratiques non dégénérées de signe variable («formes indéfinies» de la terminologie classique) est ramenée par Hermite à celle des formes positives: il associe à une forme quadratique quelconque F(x 1, ..., x n ) ses «majorantes d’Hermite», c’est-à-dire les formes quadratiques positives G (x 1, ..., x n ) telles que:

pour tout point (x 1, ..., x n ), et qui sont minimales parmi celles qui possèdent cette propriété. De la «réduction» de ces formes majorantes, il déduit une théorie de la «réduction» des formes quadratiques non dégénérées quelconques; il montre par exemple que le groupe des transformations linéaires inversibles à coefficients entiers qui laisse invariante une telle forme admet un système générateur fini (le groupe lui-même étant infini en général, difficulté qui avait arrêté les prédécesseurs d’Hermite); et, pour les formes à coefficients entiers de discriminant donné, il prouve qu’elles se répartissent encore en un nombre fini de classes de formes équivalentes.

Une application encore plus remarquable de la majoration () (ou plutôt de son analogue pour les formes hermitiennes) conduit Hermite à l’un de ses plus beaux théorèmes: Il n’y a qu’un nombre fini de corps de nombres algébriques de discriminant donné. Son idée consiste à partir d’une «forme norme»:

à n variables x i , où les a j (1 諒 jn ) sont les conjugués d’un nombre algébrique de degré n , tel que le carré du déterminant des n n formes xa j k-1 est le discriminant k 漣 1de ce nombre algébrique. Hermite considère alors la forme hermitienne positive non dégénérée:

dont le déterminant est , et lui applique sa méthode de réduction, qui conduit au résultat.

Dans un autre ordre d’idées, un emploi habile de la loi d’inertie des formes hermitiennes amène Hermite à une très ingénieuse méthode qui permet, en associant à un polynôme de degré n une forme hermitienne à n variables, de déterminer le nombre de racines du polynôme situées dans un demi-plan à l’aide de la signature de cette forme hermitienne.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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